Global a Priori Convergence Theory for Reduced-Basis Approximations of Single-Parameter Symmetric Coercive Elliptic Partial Di erential Equations

We consider \Lagrangian" reduced-basis methods for single-parameter symmetric coercive elliptic partial di erentialequations. We show that, for a logarithmic-(quasi-)uniform distributionof sample points, the reduced{basis approximation converges exponentially to the exact solution uniformly in parameter space. Furthermore, the convergence rate depends only weakly on the continuity-coercivity ratio of the operator: thus very low-dimensional approximations yield accurate solutions even for very wide parametric ranges. Numerical tests (reported elsewhere) corroborate the theoretical predictions. R esultats globaux a priori pour l'approximation d' equations aux d eriv ees partielles coercives sym etriques elliptiques d ependant d'un param etre R esum e. On consid ere des m ethodes de bases r eduites de type Lagrange pour des equations aux d eriv ees partielles coercives sym etriques elliptiques et d ependant d'un param etre. On montre que, pour une r epartition logarithmiquement quasi uniforme des points d' echantillonage, l'approximation en base r eduite converge de fa con exponentielle vers la solution exacte uniform ement par rapport au param etre. De plus la convergence ne d epend que faiblement du rapport entre les coe cients de coercivit e et de continuit e de l'op erateur: ainsi une approximation de tr es basse dimension procure une solution tr es pr ecise même dans le cas d'un large eventail de param etres. Des test num eriques (report es par ailleurs) corroborent ces pr edictions num eriques Version fran caise abr eg ee Dans un espace de Hilbert H, muni du produit scalaire ( ; ) Y et de la norme k k Y on se pose le probl eme de trouver u 2 Y v eri ant (1) o u la forme bilin eaire a:Y Y D ! IR d epend d'un param etre 2 D [0; max ]. Sous des conditions classiques de continuit e et de coercivit e de a ce probl eme poss ede une solution unique. La m ethode de base r eduite consiste alors a choisir un entier N et un jeux de param etres S N = f 1 ; : : : ; N g pour lesquels, de fa con pr ealable, on calcule | le plus exactement possible | les solutions associ ees u( k ); k = 1; : : : ; N .Puis on r esout le syst eme (2) o u W N = Vect fu( k ); k = 1; : : : ; Ng: On analyse dans cette note le cas d'un probl eme d ependant d'un seul param etre du type (3) o u a 0 :Y Y ! IR et a 1 :Y Y ! IR sont continues, sym etriques, semi positives et de plus o u a 0 est coercive induisant une norme jjj jjj 2 = a 0 ( ; ) equivalente a celle de Y . Des exemples de probl emes entrant dans ce cadre sont pr esent es, analys es et simul es sur base r eduite dans [12]. Plus particuli erement nous montrons ici que la convergence de cette m ethode en base r eduite est une fonction exponentiellement d ecroissante en le cardinal de W N , et ce uniform ement par rapport au ha l-0 07 98 38 9, v er si on 1 11 M ar 2 01 3 Author manuscript, published in "C. R. Acad. Sci., Paris, Sér. I, Math. 335 (2002) 289-294" Y. Maday, A.T. Patera and G. Turinici param etre. En particulier on a la borne suivante entre la solution exacte u( ) et son approximation u N ( ) : il existe un entier N crit tel que pour tout N N crit , on a (19) avec une constante c ne d ependant que des conditions d'ellipticit e de a 0 et de max . La d emonstration de ce r esultat repose d'une part sur le lemme classique de Cea rappel e en (10) et une estimation a priori de la meilleure approximation donn ee dans le lemme 2. Il convient de noter que l'analyse de la meilleure approximation fait ici intervenir une approximation polynomiale de la solution, mais cette approximation polynomiale est propos ee apr es un changement de variable appropri e ( = e ~ 1 ). Le point qui doit être not e est que la m ethode de Galerkin propose naturellement une approximation dans W N qui est ( a une constante multiplicative pr es) aussi bonne que cette approximation polynomiale en une variable a d e nir. Ceci donne une sup eriorit e et un caract ere g en eral a l'approche variationelle par rapport a une \simple" interpolation puisque aucune connaissance a priori de la forme de la solution en son param etre n'est a connâ tre. L'analyse faite ici sugg ere une r epartition logarithmique du jeux de param etres qui donne en e et de meilleurs r esultats dans les applications comme cel a est report e dans [15]. On renvoit aussi a [12] pour plus de d etails sur la mise en oeuvre et les applications.